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等加速运动

2020-07-28

等加速运动为物理学上的运动型态之一,等加速运动有两个特性:运动轨迹为直线、加速度为定值。我们知道加速度为一向量,向量相等的条件为方向及大小都相同,所以等加速度运动亦即加速度之方向与大小皆不随时间改变之运动。

公式推导

由加速度为定值这项特性,我们可以推导出等加速度运动的几项基本公式:由 $$a-t$$ (加速度-时间)图(如图一)可得速度的变化量 $$\Delta v=at$$ ─ 式 $$(1)$$,而以 $$v_0$$ 为初始速度,$$v_f$$ 为最终速度,可得 $$v_0+\Delta v=v_f$$ ─ 式 $$(2)$$。

等加速运动

作者提供

进一步由 $$v-t$$ (速度-时间)图(如图二)可得位移 $$s=v_0t+\frac{1}{2}\Delta vt=v_ot+\frac{1}{2}at^2$$ ─ 式 $$(3)$$。

将式 $$(2)$$ 平方并将式 $$(1)$$ 及式 $$(3)$$ 带入可得:

$$(v_o+\Delta v)^2=v_f^2$$

$$\begin{array}{ll}v_f^2 &=(\Delta v)^2+2v_0\Delta v+v_0^2 \\&=a^2t^2+2v_0at+v_0^2=2a(v_ot+\frac{1}{2}at^2)+v_o^2\\&=2as+v_o^2\end{array}$$

$$\begin{cases}\Delta v=at&(1)\\v_f=v_0+\Delta v&(2)\\s=v_ot+\frac{1}{2}at^2&(3)\\v_f^2=v_0^2+2as&(4)\end{cases}$$ 此四式即为等加速度之基本公式

我们也可利用微积分来推导式 $$(3)(4)$$:

将 $$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v$$ 将 $$\mathrm{d}t$$ 移项至右式  可得 $$\mathrm{d}x=v\mathrm{d}t$$

将上式积分 $$\int_{x_0}^{x_f}\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}v\mathrm{d}t$$    ($$x_0$$ 及 $$x_f$$ 为初位置及末位置),得如下:

$$\displaystyle \int_{x_0}^{x_f}\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}(v_0+at)\mathrm{d}t\rightarrow x_f-x_0=v_ot+\frac{1}{2}at^2\rightarrow s=v_ot+\frac{1}{2}at^2~~~~~~(3)$$

由 $$\displaystyle a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}v$$ 将 $$\mathrm{d}x$$ 移项至左式得 $$v\mathrm{d}v=a\mathrm{d}x$$

将上式积分 $$\displaystyle\int_{v_o}^{v_f}v\mathrm{d}v=\int_{x_o}^{x_f}a\mathrm{d}x\rightarrow \frac{1}{2}(v_f^2-v_0^2)=a(x_f-x_0)=as$$

移项得 $$v_f^2=v_0^2+2as~~~~~~~~~(4)$$

物理上之应用

1. 自由落体 (free-falling object)

使静止物体从空中自由落下,此时即为初速度为 $$0$$,加速度为 $$g(9.8~m/s^2)$$ 之等加速度运动,这是因为接近地表之重力加速度可视为定值。而在平抛运动中,因其水平方向加速度为 $$0$$,亦为等加速度运动的一种。但现实中因为空气阻力的影响,会使得自由落体最后达到一终端速度 (terminal velocity),而非等加速度运动。

将上述条件带入 $$\displaystyle s=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$ 中,

可得到自由落体之及平抛运动之垂直方向位移为 $$\displaystyle s=\frac{1}{2}gt^2$$。

等加速运动

图三 (作者提供)

2. 抛体运动

理想的抛体运动(如图四所示),仅考虑重力因素,假设抛出速度为 $$v$$,则水平为等速运动,而垂直为等加速度,位置可写成$$x =v(\cos \theta) t$$,垂直位置可写成 $$y=v(\sin\theta) t-\frac{1}{2}gt^2$$,飞行时间$$(y=0)$$为 $$t=2v(\sin\theta )/g$$,则水平位移为

$$\displaystyle x=\frac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v^2\sin 2\theta}{g}$$

可知 $$\theta$$ 为 $$45$$ 度时有最远距离。

等加速运动

图四 (作者提供)

其他应用

理想上,带电粒子在均匀电场中的运动型式亦为等加速度运动,汤姆森 (J.J. Thomson)发现电子所用的实验装置便应用到这个特性。

常见误解

等速率圆周运动 (uniform circular motion),虽然向心加速度大小固定,但由于其加速度方向不断随时间变化,所以属于变加速度运动。

等加速运动的实验─滑车打点计时(图五)

此实验是将滑车置于斜坡上,以滑车之下滑力与摩擦力相抵消后的合力做为加速度的来源,并由滑车后方绑着的纸带配合打点计时器纪录其各时间点之位置,并进一步求得其加速度为定值。

等加速运动

图五 (作者提供)

综观上述,等加速度运动在非理想的状况下并不常见,但却是最容易分析与探讨的运动模型之一,其应用也相当广泛,为相当基础而重要的运动模型。

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